Полное ускорение и его компоненты. Ускорение тангенциальное и нормальное ускорение. Формулы и пример решения задачи

В кинематике для однозначного определения характеристик движения тела в любой точке траектории необходимо знать его скорость и ускорение. Зависимость от времени этих величин предоставляет всю необходимую информацию для вычисления пройденного телом пути. Рассмотрим подробнее в статье, что такое ускорение тангенциальное и нормальное ускорение.

В физике

Прежде чем рассматривать для механического движения ускорение нормальное и тангенциальное ускорение, познакомимся с самим физическим понятием. Определение ускорения является достаточно простым. В физике под ним понимают характеристику изменения скорости. Последняя является векторной величиной, определяющей быстроту изменения координат движущегося объекта в пространстве. Скорость измеряется в метрах в секунду (расстояние, пройденное за единицу времени). Если ее обозначить символом v¯, тогда математическое определение ускорения a¯ будет выглядеть так:

a¯ = dv¯/dt

Это равенство определяет так называемое полное мгновенное ускорение. Мгновенным оно называется потому, что характеризует изменение скорости лишь в данный момент времени.

Если движение является равноускоренным, то есть в течение длительного времени ускорение не меняет своего модуля и направления, тогда можно записать следующую формулу для его определения:

a¯ = Δv¯/Δt

Где Δt>>dt. Величина a¯ здесь называется средним ускорением, которое в общем случае отличается от мгновенного.

Ускорение измеряется в системе СИ в метрах в квадратную секунду (м/с2).

Траектория движения и компоненты полного ускорения

Чаще всего тела в природе движутся по кривым траекториям. Примерами такого перемещения являются: вращение по своим орбитам планет, параболическое падение камня на землю, поворот автомобиля. В случае криволинейной траектории в любой момент времени скорость направлена по касательной к рассматриваемой точке траектории. Как при этом направлено ускорение?

Чтобы ответить на поставленный выше вопрос, запишем скорость тела в следующей форме:

v¯ = v*ut¯

Здесь ut¯ - вектор скорости единичный, индекс t означает, что он направлен по касательной к траектории (тангенциальная компонента). Символом v обозначен модуль скорости v¯.

Теперь, следуя определению ускорения, можно провести дифференцирование скорости по времени, имеем:

a¯ = dv¯/dt = dv/dt*ut¯ + v*d(ut¯)/dt

Таким образом, полное ускорение a¯ представляет собой векторную сумму двух компонент. Первое и второе слагаемое называются нормальным и тангенциальным ускорением точки. Подробнее рассмотрим каждую из этих компонент.

Ускорение тангенциальное

Запишем еще раз формулу для этой компоненты полного ускорения:

at¯ = dv/dt*ut¯

Это выражение позволяет описать свойства величины at¯:

• Она направлена точно так же, как и сама скорость или противоположно ей, то есть по касательной к траектории. Об этом свидетельствует элементарный вектор ut¯.
• Она характеризует изменение скорости по абсолютной величине, что отражает множитель dv/dt.

Эти свойства позволяют сделать важный вывод: для прямолинейного движения полное и тангенциальное ускорения - это одна и та же величина. В случае криволинейного перемещения полное ускорение всегда больше по модулю, чем тангенциальное. Когда рассматривают физические задачи на прямолинейное равноускоренное движение, то ведут речь именно об этой компоненте ускорения.

Ускорение нормальное

Рассматривая тему скорости, ускорения тангенциального и ускорения нормального, дадим характеристику последней величине. Запишем формулу для нее:

an¯ = v*d(ut¯)/dt = v*d(ut¯)/dL*dL/dt

Чтобы записать явно правую часть равенства, воспользуемся следующими соотношениями:

dL/dt = v;d(ut¯)/dL = 1/r

Здесь dL - это пройденный телом путь за промежуток времени dt, r - радиус кривизны траектории. Первое выражение соответствует определению скорости, второе равенство следует из геометрических соображений. Пользуясь этими формулами, получаем конечное выражение для нормального ускорения:

an¯ = v2/r

То есть величина an¯ не зависит от изменения скорости, как тангенциальная компонента, а определяется исключительно ее модулем. Нормальное ускорение вдоль нормали к данному участку траектории направлено, то есть к центру кривизны. Например, во время движения по окружности вектор an¯ направлен к ее центру, поэтому нормальное ускорение называют часто центростремительным.

Если за изменение абсолютной величины скорости ответственно ускорение тангенциальное, то нормальная компонента ответственна за изменение вектора скорости, то есть она определяет траекторию перемещения тела.

Ускорение полное, нормальное и тангенциальное

Разобравшись с понятием ускорения и с его компонентами, приведем теперь формулу, которая позволяет определить полное ускорение. Поскольку рассмотренные компоненты направлены под углом 90 o друг к другу, то для определения абсолютной величины их векторной суммы можно использовать теорему Пифагора. Формула для полного ускорения имеет вид:

a = √(at2 + an2)

Направление величины a¯ можно определить по отношению к вектору любой из компонент. Например, угол между a¯ и an¯ вычисляется так:

θ = arctg(at/an)

Учитывая приведенную выше формулу для модуля a¯, можно сделать вывод: при равномерном движении по окружности полное ускорение совпадает с центростремительным.

Решение задачи

Пусть тело движется по окружности радиусом 1 метр. Известно, что его скорость изменяется по следующему закону:

v = 2*t2 + 3*t

Необходимо определить ускорение тангенциальное и нормальное ускорение в момент t = 4 секунды.

Для тангенциального имеем:

at = dv/dt = 4*t + 3 = 19 м/с2

Для того чтобы найти модуль ускорения нормального, сначала следует вычислить значение скорости в заданный момент времени. Имеем:

v = 2*42 + 3*4 = 44 м/с

Теперь можно воспользоваться формулой для an:

an = v2/r = 442/1 = 1936 м/с2

Таким образом, мы определили все величины, которые требовалось найти для решения задачи.